Алгебра Примеры

$y = \frac{x - 4}{33 - x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y - 4}{33 - y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 4}{33 - y} = x$ .

$\frac{y - 4}{33 - y} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$33 - y, 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$33 - y, 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$33 - y$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{y - 4}{33 - y} = x$ умножим на $33 - y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 4}{33 - y} = x$ на $33 - y$ .

$\frac{y - 4}{33 - y} (33 - y) = x (33 - y)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $33 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 4}{33 - y} (33 - y) = x (33 - y)$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y - 4 = x (33 - y)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = x \cdot 33 + x (- y)$

Этап 2.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перенесем $33$ влево от $x$ .

$y - 4 = 33 \cdot x + x (- y)$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y - 4 = 33 x - x y$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $x y$ к обеим частям уравнения.

$y - 4 + x y = 33 x$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y + x y = 33 x + 4$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + x y = 33 x + 4$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y \cdot 1 + y x = 33 x + 4$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y x$ .

$y (1 + x) = 33 x + 4$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (1 + x) = 33 x + 4$ на $1 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (1 + x) = 33 x + 4$ на $1 + x$ .

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{33 x}{1 + x} + \frac{4}{1 + x}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{33 x}{1 + x} + \frac{4}{1 + x}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{33 x}{1 + x} + \frac{4}{1 + x}$

Этап 2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{33 x + 4}{1 + x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$ обратной к $f (x) = \frac{x - 4}{33 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$

Этап 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $33 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $\frac{33 \frac{x - 4}{33 - x} + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$ на $\frac{33 - x}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{33 - x}{33 - x} \cdot \frac{33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$

Этап 4.2.4.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4)}{(33 - x) (1 + \frac{x - 4}{33 - x})}$

Этап 4.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + (33 - x) (\frac{x - 4}{33 - x})}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $33 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + (33 - x) (\frac{x - 4}{33 - x})}$

Этап 4.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Вынесем множитель $33 - x$ из $(33 - x) \cdot 33 \frac{x - 4}{33 - x} + (33 - x) \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.1

Вынесем множитель $33 - x$ из $(33 - x) \cdot 33 \frac{x - 4}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.1.2

Вынесем множитель $33 - x$ из $(33 - x) \cdot 4$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) (4)}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.1.3

Вынесем множитель $33 - x$ из $(33 - x) (33 \frac{x - 4}{33 - x}) + (33 - x) (4)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4)}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.2

Объединим $33$ и $\frac{x - 4}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4)}{33 - x} + 4)}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{33 - x}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4)}{33 - x} + \frac{4 (33 - x)}{33 - x})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4) + 4 (33 - x)}{33 - x})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4) + 4 (33 - x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6

Перепишем $\frac{33 (x - 4) + 4 (33 - x)}{- x + 33}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x + 33 \cdot - 4 + 4 (33 - x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.2

Умножим $33$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 4 (33 - x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 4 \cdot 33 + 4 (- x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.4

Умножим $4$ на $33$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 132 + 4 (- x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 132 - 4 x}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.6

Вычтем $4 x$ из $33 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x - 132 + 132}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.7

Добавим $- 132$ и $132$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x + 0}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.7.6.8

Добавим $29 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Этап 4.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Умножим $33 - x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{33 - x + x - 4}$

Этап 4.2.8.2

Вычтем $4$ из $33$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{- x + x + 29}$

Этап 4.2.8.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{0 + 29}$

Этап 4.2.8.4

Добавим $0$ и $29$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{29}$

Этап 4.2.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Вынесем множитель $\frac{29 x}{- x + 33}$ из $\frac{(33 - x) \frac{29 x}{- x + 33}}{29}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{29 x}{- x + 33} \cdot \frac{33 - x}{29}$

Этап 4.2.9.2

Сократим общий множитель $29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.2.1

Вынесем множитель $29$ из $29 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{29 (x)}{- x + 33} \cdot \frac{33 - x}{29}$

Этап 4.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{29 x}{- x + 33} \cdot \frac{33 - x}{29}$

Этап 4.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x}{- x + 33} \cdot (33 - x)$

Этап 4.2.9.3

Умножим $\frac{x}{- x + 33}$ на $33 - x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x (33 - x)}{- x + 33}$

Этап 4.2.9.4

Сократим общий множитель $33 - x$ и $- x + 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.4.1

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x (- x + 33)}{- x + 33}$

Этап 4.2.9.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x (- x + 33)}{- x + 33}$

Этап 4.2.9.4.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{33 x + 4}{1 + x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(\frac{33 x + 4}{1 + x}) - 4}{33 - (\frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Этап 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{33 x + 4}{1 + x} - 4}{33 - \frac{33 x + 4}{1 + x}}$ на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{33 x + 4}{1 + x} - 4}{33 - \frac{33 x + 4}{1 + x}}$

Этап 4.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{33 x + 4}{1 + x} - 4)}{(1 + x) (33 - \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Этап 4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{33 x + 4}{1 + x}) + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (- \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Этап 4.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{33 x + 4}{1 + x}) + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (- \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Этап 4.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (- \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{33 x + 4}{1 + x}$ в числитель.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (\frac{- (33 x + 4)}{1 + x})}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (\frac{- (33 x + 4)}{1 + x})}$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + 1 \cdot - 4 + x \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.6.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 - 4 + x \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.6.3

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 - 4 - 4 \cdot x}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.6.4

Вычтем $4 x$ из $33 x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x + 4 - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.6.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x + 0}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.6.6

Добавим $29 x$ и $0$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{1 \cdot 33 + x \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.7.2

Умножим $33$ на $1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + x \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.7.3

Перенесем $33$ влево от $x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 \cdot x - (33 x + 4)}$

Этап 4.3.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 x - (33 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.7.5

Умножим $33$ на $- 1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 x - 33 x - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.7.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 x - 33 x - 4}$

Этап 4.3.7.7

Вычтем $4$ из $33$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 x - 33 x + 29}$

Этап 4.3.7.8

Вычтем $33 x$ из $33 x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{0 + 29}$

Этап 4.3.7.9

Добавим $0$ и $29$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{29}$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{29}$

Этап 4.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x - 4}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$