Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ .

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Этап 2.2.2

Объединим $y$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

Этап 2.2.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

Этап 2.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

Этап 2.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $18$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 y}{3}$ в числитель.

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим $- 4$ на $6$ .

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.4.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.4.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.5

Умножим $2$ на $43$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.6

Умножим $- 1$ на $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

Этап 2.4.3

Перенесем $86$ .

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

Этап 2.4.4

Перенесем $- 24 y$ .

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

Этап 2.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 24$ и $c = - 18 x + 86$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $- 18$ на $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $- 12$ на $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.6

Вычтем $1032$ из $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем множитель $24$ из $216 x - 456$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель $24$ из $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.7.2

Вынесем множитель $24$ из $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.7.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.8

Перепишем $24 (9 x - 19)$ в виде $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.8.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4

Умножим $- 18$ на $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.5

Умножим $- 12$ на $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.6

Вычтем $1032$ из $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.7

Вынесем множитель $24$ из $216 x - 456$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.7.1

Вынесем множитель $24$ из $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.7.2

Вынесем множитель $24$ из $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.7.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.8

Перепишем $24 (9 x - 19)$ в виде $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.8.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 2.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.4

Умножим $- 18$ на $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.5

Умножим $- 12$ на $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.6

Вычтем $1032$ из $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.7

Вынесем множитель $24$ из $216 x - 456$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.7.1

Вынесем множитель $24$ из $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.7.2

Вынесем множитель $24$ из $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.7.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.8

Перепишем $24 (9 x - 19)$ в виде $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.8.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Этап 2.9.3

Упростим $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 2.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 2.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$6 (9 x - 19) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $6 (9 x - 19) \geq 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $6 (9 x - 19) \geq 0$ на $6$ .

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим $9 x - 19$ на $1$ .

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$9 x - 19 \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим $19$ к обеим частям неравенства.

$9 x \geq 19$

Этап 4.3.2.3

Разделим каждый член $9 x \geq 19$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим каждый член $9 x \geq 19$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Этап 4.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{19}{9}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Этап 5