Алгебра Примеры

$\frac{(6 x + 5)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{6 x + 5}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(6 x + 5) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(6 x + 5) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(6 x + 5) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(6 x + 5) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.2

Разделим $6 x + 5$ на $1$ .

$6 x + 5 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x + 5 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$6 x + 5 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 5 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$6 x + 5 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$6 x + 5 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (x - 3)$ на $1$ .

$6 x + 5 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 5 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3$

Этап 1.7.6

Перенесем $- 3$ влево от $B$ .

$6 x + 5 = A x - 2 A + B x - 3 B$

Этап 1.8

Перенесем $- 2 A$ .

$6 x + 5 = A x + B x - 2 A - 3 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = - 2 A - 3 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = A + B$

$5 = - 2 A - 3 B$

$6 = A + B$

$5 = - 2 A - 3 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $6 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$5 = - 2 A - 3 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 6 - B$

$5 = - 2 A - 3 B$

$A = 6 - B$

$5 = - 2 A - 3 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $6 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = - 2 A - 3 B$ на $6 - B$ .

$5 = - 2 (6 - B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 2 (6 - B) - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = - 2 \cdot 6 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $6$ .

$5 = - 12 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$5 = - 12 + 2 B - 3 B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 + 2 B - 3 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $3 B$ из $2 B$ .

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $5 = - 12 - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 12 - B = 5$ .

$- 12 - B = 5$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- B = 5 + 12$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.2.2

Добавим $5$ и $12$ .

$- B = 17$

$A = 6 - B$

$- B = 17$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- B = 17$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- B = 17$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

$B = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $17$ на $- 1$ .

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 17$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 6 - B$ на $- 17$ .

$A = 6 - (- 17)$

$B = - 17$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $6 - (- 17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 17$ .

$A = 6 + 17$

$B = - 17$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $6$ и $17$ .

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 23, B = - 17$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{23}{x - 3} + \frac{- 17}{x - 2}$