Алгебра Примеры

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{5}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

Этап 4.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$25 - 25$

Этап 4.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{5}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{5}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(10)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(25)$ под следующим членом делимого $(- 25)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

Этап 6.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(4) x + 10$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$4 x + 10$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

Этап 8

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} = 25$

Этап 9

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Этап 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Этап 11

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Этап 11.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 11.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Этап 12

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 12.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 13