Алгебра Примеры

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Этап 4.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Этап 4.1.3

Умножим $- 11$ на $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Этап 4.1.4

Умножим $43$ на $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $275$ из $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Этап 4.2.2

Добавим $- 150$ и $215$ .

$65 - 65$

Этап 4.2.3

Вычтем $65$ из $65$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $5$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(- 30)$ под следующим членом делимого $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(65)$ под следующим членом делимого $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 6 x + 13$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 7.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 7.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 7.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Этап 7.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 7.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Этап 10