Алгебра Примеры

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Этап 4.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

Этап 4.1.4

Умножим $- 7$ на $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 27$ и $27$ .

$0 + 21 - 21$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $21$ .

$21 - 21$

Этап 4.2.3

Вычтем $21$ из $21$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 7)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(21)$ под следующим членом делимого $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 7$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 7$

Этап 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{7}$

Этап 7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{7}$

Этап 7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Десятичная форма:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Этап 11