Алгебра Примеры

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Этап 4.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Этап 4.1.5

Умножим $- 15$ на $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Этап 4.1.6

Умножим $- 24$ на $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Этап 4.2.2

Вычтем $15$ из $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Этап 4.2.3

Вычтем $24$ из $- 2$ .

$- 26 + 26$

Этап 4.2.4

Добавим $- 26$ и $26$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(13)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 26)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 26)$ под следующим членом делимого $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Этап 9.5

Разложим $u^{2} - 15 u + 26$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $26$ , а сумма — $- 15$ .

$- 13, - 2$

Этап 9.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Этап 9.9

Разложим $12 u + u^{2} - 13$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 13$ , а сумма — $12$ .

$- 1, 13$

Этап 9.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 12

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 12.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 13

Приравняем $x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 13$ к $0$ .

$x + 13 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$x = - 13$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Десятичная форма:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Этап 16