Алгебра Примеры

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(y - 1)}^{2} = 25 - x^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 1 = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Этап 4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 1 = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Этап 4.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Этап 6.2

Приравняем $5 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $5 + x$ к $0$ .

$5 + x = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6.3

Приравняем $5 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 6.3.2

Решим $5 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 + x) (5 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 5, 5$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$(5 - 8) (5 - (- 8)) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 39$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(5 + 0) (5 - (0)) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$(5 + 8) (5 - (8)) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 39$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x \leq 5$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 5, 5]$

Обозначение построения множества:

${x | - 5 \leq x \leq 5}$

Этап 8