Алгебра Примеры

$x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 7, \pm 49$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 7}$ при $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(7)$ и запишем их произведение $(7)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$	$7$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(7)$ и запишем их произведение $(49)$ под следующим членом делимого $(- 48)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$

Этап 2.7

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Этап 2.9

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(7)$ и запишем их произведение $(49)$ под следующим членом делимого $(- 49)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Этап 2.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$	$0$

Этап 2.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (1) x + 7$

Этап 2.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$

Этап 3

Поскольку $7 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $7$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $7$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 7}$ при $x = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 7)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 7)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(49)$ под следующим членом делимого $(- 48)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$

Этап 4.7

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Этап 4.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 7)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(49)$ под следующим членом делимого $(- 49)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Этап 4.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$	$0$

Этап 4.11

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (1) x - 7$

Этап 4.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 7 x^{2} + x - 7$

Этап 5

Поскольку $- 7 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 7$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 7$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 49}$ при $x = 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(49)$ и запишем их произведение $(49)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$	$49$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(49)$ на делитель $(49)$ и запишем их произведение $(2401)$ под следующим членом делимого $(- 48)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$	$2353$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(2353)$ на делитель $(49)$ и запишем их произведение $(115297)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(115297)$ на делитель $(49)$ и запишем их произведение $(5649553)$ под следующим членом делимого $(- 49)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$	$5649504$

Этап 6.11

$1 x^{3} + 49 x^{2} + (2353) x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 49 x^{2} + 2353 x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Этап 7

Поскольку $49 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $49$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $49$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 49}$ при $x = - 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 49)$ и запишем их произведение $(- 49)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$	$- 49$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 49)$ на делитель $(- 49)$ и запишем их произведение $(2401)$ под следующим членом делимого $(- 48)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$	$2353$

Этап 8.7

Умножим последний элемент в области результата $(2353)$ на делитель $(- 49)$ и запишем их произведение $(- 115297)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$

Этап 8.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Этап 8.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 115297)$ на делитель $(- 49)$ и запишем их произведение $(5649553)$ под следующим членом делимого $(- 49)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Этап 8.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$	$5649504$

Этап 8.11

$1 x^{3} + - 49 x^{2} + (2353) x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Этап 8.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 49 x^{2} + 2353 x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Этап 9

Поскольку $- 49 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 49$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 49$

Этап 10

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $7, 49$

Нижние границы: $- 7, - 49$

Этап 11