Алгебра Примеры

$x^{3} - 13 x^{2} + 59 x - 87$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 87, \pm 3, \pm 29$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 87, \pm 3, \pm 29$

Этап 3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 13 \cdot 3^{2} + 59 \cdot 3 - 87$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 13 \cdot 3^{2} + 59 \cdot 3 - 87$

Этап 3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 13 \cdot 9 + 59 \cdot 3 - 87$

Этап 3.4

Умножим $- 13$ на $9$ .

$27 - 117 + 59 \cdot 3 - 87$

Этап 3.5

Вычтем $117$ из $27$ .

$- 90 + 59 \cdot 3 - 87$

Этап 3.6

Умножим $59$ на $3$ .

$- 90 + 177 - 87$

Этап 3.7

Добавим $- 90$ и $177$ .

$87 - 87$

Этап 3.8

Вычтем $87$ из $87$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 13 x^{2} + 59 x - 87}{x - 3}$

Этап 5

Разделим $x^{3} - 13 x^{2} + 59 x - 87$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$59 x$

$87$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} + 30 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$29 x$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$29 x$	-	$87$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $29 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$29 x$	-	$87$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$29 x$	-	$87$
							+	$29 x$	-	$87$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $29 x - 87$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$29 x$	-	$87$
							-	$29 x$	+	$87$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$59 x$	-	$87$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$29 x$	-	$87$
							-	$29 x$	+	$87$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 10 x + 29$

Этап 6

Запишем $x^{3} - 13 x^{2} + 59 x - 87$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{2} - 10 x + 29)$