Алгебра Примеры

$\frac{5 x}{x + 7}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{5 y}{y + 7}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5 y}{y + 7} = x$ .

$\frac{5 y}{y + 7} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 7, 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 7, 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 7$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{5 y}{y + 7} = x$ умножим на $y + 7$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{5 y}{y + 7} = x$ на $y + 7$ .

$\frac{5 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 y = x (y + 7)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y = x y + x \cdot 7$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$5 y = x y + 7 x$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$5 y - x y = 7 x$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $y$ из $5 y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y$ .

$y \cdot 5 - x y = 7 x$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 5 + y (- x) = 7 x$

Этап 2.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 5 + y (- x)$ .

$y (5 - x) = 7 x$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $y (5 - x) = 7 x$ на $5 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $y (5 - x) = 7 x$ на $5 - x$ .

$\frac{y (5 - x)}{5 - x} = \frac{7 x}{5 - x}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель $5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (5 - x)}{5 - x} = \frac{7 x}{5 - x}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{7 x}{5 - x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{5 x}{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{x + 7})}{5 - (\frac{5 x}{x + 7})}$

Этап 4.2.3

Объединим $7$ и $\frac{5 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{5 - \frac{5 x}{x + 7}}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (x + 7)}{x + 7} - \frac{5 x}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (x + 7) - 5 x}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{- 5 x + 5 (x + 7)}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.4

Перепишем $\frac{- 5 x + 5 (x + 7)}{x + 7}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x + 5 (x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (- x) + 5 (x + 7)}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x) + 5 (x + 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (- x + x + 7)}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (0 + 7)}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.4.3

Добавим $0$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 \cdot 7}{x + 7}}$

Этап 4.2.4.5

Умножим $5$ на $7$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{35}{x + 7}}$

Этап 4.2.5

Умножим $7$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{35 x}{x + 7}}{\frac{35}{x + 7}}$

Этап 4.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{35 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{35}$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Вынесем множитель $35$ из $35 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{35 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{35}$

Этап 4.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{35 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{35}$

Этап 4.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{7 x}{5 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5 - x})}{(\frac{7 x}{5 - x}) + 7}$

Этап 4.3.3

Объединим $5$ и $\frac{7 x}{5 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x}{5 - x} + 7}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x}{5 - x} + \frac{7 (5 - x)}{5 - x}}$

Этап 4.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x + 7 (5 - x)}{5 - x}}$

Этап 4.3.4.3

Изменим порядок членов.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x + 7 (5 - x)}{- x + 5}}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $\frac{7 x + 7 (5 - x)}{- x + 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x + 7 (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 (x) + 7 (5 - x)}{- x + 5}}$

Этап 4.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7 (x) + 7 (5 - x)$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 (x + 5 - x)}{- x + 5}}$

Этап 4.3.4.4.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 (0 + 5)}{- x + 5}}$

Этап 4.3.4.4.3

Добавим $0$ и $5$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 \cdot 5}{- x + 5}}$

Этап 4.3.4.5

Умножим $7$ на $5$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{35}{- x + 5}}$

Этап 4.3.5

Умножим $5$ на $7$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{35 x}{5 - x}}{\frac{35}{- x + 5}}$

Этап 4.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{35 x}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{35}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Вынесем множитель $35$ из $35 x$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{35 (x)}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{35}$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{35 x}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{35}$

Этап 4.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x}{5 - x} \cdot (- x + 5)$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{x}{5 - x}$ на $- x + 5$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{5 - x}$

Этап 4.3.9

Сократим общий множитель $- x + 5$ и $5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Изменим порядок членов.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{- x + 5}$

Этап 4.3.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{- x + 5}$

Этап 4.3.9.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{5 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$