Алгебра Примеры

$4 x^{3} - 9$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4 y^{3} - 9$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4 y^{3} - 9 = x$ .

$4 y^{3} - 9 = x$

Этап 2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$4 y^{3} = x + 9$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 y^{3} = x + 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 y^{3} = x + 9$ на $4$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{9}{4}}$

Этап 2.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{9}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 9}{4}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x + 9}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 2.5.4.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 2.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 2.5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 2.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 2.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 2.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.5.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 2.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 2.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 2.5.5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 2.5.5.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 2.5.5.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 2.5.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 2.5.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{4}$

Этап 2.5.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 (\sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2})}{4}$

Этап 2.5.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$ обратной к $f (x) = 4 x^{3} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (4 x^{3} - 9)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{2 ((4 x^{3} - 9) + 9)}}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{2 (4 x^{3} + 0)}}{2}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (4 x^{3})}}{2}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Этап 4.2.3.4

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Этап 4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2})}^{3} - 9$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}^{3}}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2 (x + 9)}}^{3}$ в виде $2 (x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 (x + 9)}$ в виде ${(2 (x + 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{({(2 (x + 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 9))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 9))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 9}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.3

Умножим $2$ на $9$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 18}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x) + 18}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 9}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 9$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{2^{3}}) - 9$

Этап 4.3.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{8}) - 9$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{4 (2)}) - 9$

Этап 4.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{4 \cdot 2}) - 9$

Этап 4.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = \frac{2 (x + 9)}{2} - 9$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = \frac{2 (x + 9)}{2} - 9$

Этап 4.3.3.5.2

Разделим $x + 9$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = x + 9 - 9$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 4 x^{3} - 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$