Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + 74 x^{2} - 50 x - 25$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = - 2 x^{3} - 50 x + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Этап 2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} - 50 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 50 x + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 50 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 25 + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (25)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 {(x^{2})}^{2} + 74 x^{2} - 25$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + 74 u - 25$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + i x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ , а сумма — $i = 74$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $74$ из $74 u$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + 74 (u) - 25$

Этап 5.1.2

Запишем $74$ как $- 1$ плюс $75$

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + (- 1 + 75) u - 25$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} - 1 u + 75 u - 25$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} - 1 u + 75 u - 25$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + u (3 u - 1) + 25 (3 u - 1)$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + (3 u - 1) (u + 25)$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Этап 7

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- 2 x (x^{2} + 25) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- 2 x (x^{2} + 25)$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x) + (x^{2} + 25) (3 x^{2} - 1)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} + 25) (- 2 x) + (x^{2} + 25) (3 x^{2} - 1)$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x + 3 x^{2} - 1)$

Этап 8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 u + 3 u^{2} - 1)$

Этап 9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок членов.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} - 2 u - 1)$

Этап 9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + i x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $i = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} - 2 u - 1)$

Этап 9.2.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)$

Этап 9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)$

Этап 9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + u - 3 u - 1)$

Этап 9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)$

Этап 9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = (x^{2} + 25) (u (3 u + 1) - (3 u + 1))$

Этап 9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 u + 1) (u - 1))$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 x + 1) (x - 1))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 x + 1) (x - 1)$