Алгебра Примеры

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ .

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y} = 12^{x}$ .

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

Этап 2.3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 2.3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 2.3.3

Каждый член в $\frac{1}{y} = 12^{x}$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y} = 12^{x}$ на $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Этап 2.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 12^{x} y$

Этап 2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Изменим порядок множителей в $12^{x} y$ .

$1 = y \cdot 12^{x}$

Этап 2.3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$y \cdot 12^{x} = 1$

Этап 2.3.4.2

Разделим каждый член $y \cdot 12^{x} = 1$ на $12^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Разделим каждый член $y \cdot 12^{x} = 1$ на $12^{x}$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Этап 2.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $12^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Этап 2.3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ обратной к $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

Этап 4.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

Этап 4.2.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{12^{x}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

Этап 4.3.4

Перепишем $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ в виде $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

Этап 4.3.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

Этап 4.3.6

Логарифм $12$ по основанию $12$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

Этап 4.3.7

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

Этап 4.3.8

Логарифм $1$ по основанию $12$ равен $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

Этап 4.3.9

Добавим $0$ и $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ — обратная к $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$