Алгебра Примеры

$f (x) = \log (\frac{x + 5}{x - 1})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log (\frac{x + 5}{x - 1})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 5}{x - 1} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 5$

$x = 1$

Этап 2.5

Объединим решения.

$x = - 5, 1$

Этап 2.6

Найдем область определения $\frac{x + 5}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 5}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 8) + 5}{(- 8) - 1} > 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $0.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 5}{(0) - 1} > 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 5}{(4) - 1} > 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $x > 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 5}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 5, x > 1}$

Этап 6