Алгебра Примеры

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ .

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Этап 1.5

Разложим $u^{2} + 7 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $4 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

Этап 1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

Этап 1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

Этап 1.9

Разложим $4 u + u^{2} + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 3.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 3.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

Этап 7