Алгебра Примеры

$2 + \sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 7}$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 7} - 2$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x - 3}}^{2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 3}$ в виде ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 3)}^{1} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x - 3 = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x + 7} - 2) (\sqrt{x + 7} - 2)$ .

$2 x - 3 = (\sqrt{x + 7} - 2) (\sqrt{x + 7} - 2)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x + 7} - 2) (\sqrt{x + 7} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = \sqrt{x + 7} (\sqrt{x + 7} - 2) - 2 (\sqrt{x + 7} - 2)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{x + 7} - 2)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x + 7}$ в степень $1$ .

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{1} \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x + 7}$ в степень $1$ .

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{1} {\sqrt{x + 7}}^{1} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{2} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ в виде $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 3 = {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{1} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$2 x - 3 = x + 7 + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{x + 7}$ .

$2 x - 3 = x + 7 - 2 \cdot \sqrt{x + 7} - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 x - 3 = x + 7 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \sqrt{x + 7} + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $7$ и $4$ .

$2 x - 3 = x + 11 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \sqrt{x + 7}$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $2 \sqrt{x + 7}$ из $- 2 \sqrt{x + 7}$ .

$2 x - 3 = x + 11 - 4 \sqrt{x + 7}$

Этап 4

Решим относительно $- 4 \sqrt{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x + 11 - 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3$ .

$x + 11 - 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 4 \sqrt{x + 7}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$11 - 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3 - x$

Этап 4.2.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3 - x - 11$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$- 4 \sqrt{x + 7} = x - 3 - 11$

Этап 4.2.4

Вычтем $11$ из $- 3$ .

$- 4 \sqrt{x + 7} = x - 14$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4 \sqrt{x + 7})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$16 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(x + 7)}^{1} = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 (x + 7) = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 16 \cdot 7 = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $16$ на $7$ .

$16 x + 112 = {(x - 14)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(x - 14)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(x - 14)}^{2}$ в виде $(x - 14) (x - 14)$ .

$16 x + 112 = (x - 14) (x - 14)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(x - 14) (x - 14)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 112 = x (x - 14) - 14 (x - 14)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 112 = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 112 = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$16 x + 112 = x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.2

Перенесем $- 14$ влево от $x$ .

$16 x + 112 = x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 14$ на $- 14$ .

$16 x + 112 = x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $14 x$ из $- 14 x$ .

$16 x + 112 = x^{2} - 28 x + 196$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 28 x + 196 = 16 x + 112$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 28 x + 196 - 16 x = 112$

Этап 7.2.2

Вычтем $16 x$ из $- 28 x$ .

$x^{2} - 44 x + 196 = 112$

Этап 7.3

Вычтем $112$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 44 x + 196 - 112 = 0$

Этап 7.4

Вычтем $112$ из $196$ .

$x^{2} - 44 x + 84 = 0$

Этап 7.5

Разложим $x^{2} - 44 x + 84$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $84$ , а сумма — $- 44$ .

$- 42, - 2$

Этап 7.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 42) (x - 2) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 42 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x - 42$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x - 42$ к $0$ .

$x - 42 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $42$ к обеим частям уравнения.

$x = 42$

Этап 7.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 42) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 42, 2$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $2 + \sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 7}$ истинным.

$x = 2$

Этап 9