Алгебра Примеры

$y = - 3 x^{2} + 2 x - 4$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $- 3 x^{2} + 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 4$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 3}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{3}$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = - 4 - \frac{4}{- 12}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$e = - 4 - \frac{4 (1)}{- 12}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 4 - \frac{1}{- 3}$

Этап 1.1.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 4 - - \frac{1}{3}$

Этап 1.1.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - 4 + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 1.1.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$e = - 4 + \frac{1}{3}$

Этап 1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 4 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.5.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$e = \frac{- 12 + 1}{3}$

Этап 1.1.4.2.5.2

Добавим $- 12$ и $1$ .

$e = \frac{- 11}{3}$

Этап 1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{11}{3}$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{11}{3}$ .

$- 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{11}{3}$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{11}{3}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{11}{3}$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{11}{3})$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{3}, - \frac{15}{4})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 8