Алгебра Примеры

${(x + \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{3}$ на $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} \cdot \frac{1^{0}}{2^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{2^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{1} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.5

Разделим $1$ на $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.6

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.7

Упростим.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.8

Умножим $3 x^{2} \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + x^{2} \frac{3}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.8.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.9

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot x^{2}}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.10

Упростим.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \cdot x \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.12

Единица в любой степени равна единице.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1}{2^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.14

Умножим $3 x \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + x \frac{3}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.14.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.15

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.16

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.18

Умножим ${(\frac{1}{2})}^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Этап 4.20

Единица в любой степени равна единице.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2^{3}}$

Этап 4.21

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1}{8}$