Алгебра Примеры

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$ не определено.

$x = 4$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 (x) - 5}{x - 4}$

Этап 5.1.1.2

Запишем $2$ как $- 3$ плюс $5$

$\frac{3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5}{x - 4}$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5}{x - 4}$

Этап 5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5}{x - 4}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{x - 4}$

Этап 5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 5)}{x - 4}$

Этап 5.2

Развернем $(x - 1) (3 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x + 5) - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.6

Изменим порядок $x$ и $5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.7

Избавимся от скобок.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.8

Умножим $3$ на $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.13

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Этап 5.2.14

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 5}{x - 4}$

Этап 5.2.15

Вычтем $3 x$ из $5 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 12 x$ .

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $14 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					+	$14 x$	-	$56$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $14 x - 56$ .

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$
							+	$51$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x + 14 + \frac{51}{x - 4}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x + 14$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 4$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x + 14$

Этап 7