Алгебра Примеры

$2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$

Этап 1

Приравняем $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ к $0$ .

$2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 7, \pm 3.5$

Этап 2.1.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 23 \cdot {0.5}^{2} + 58 \cdot 0.5 - 35$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 23 \cdot {0.5}^{2} + 58 \cdot 0.5 - 35$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 + 23 \cdot {0.5}^{2} + 58 \cdot 0.5 - 35$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 + 23 \cdot 0.25 + 58 \cdot 0.5 - 35$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $23$ на $0.25$ .

$0.25 + 5.75 + 58 \cdot 0.5 - 35$

Этап 2.1.1.3.6

Добавим $0.25$ и $5.75$ .

$6 + 58 \cdot 0.5 - 35$

Этап 2.1.1.3.7

Умножим $58$ на $0.5$ .

$6 + 29 - 35$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $6$ и $29$ .

$35 - 35$

Этап 2.1.1.3.9

Вычтем $35$ из $35$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35}{2 x - 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$58 x$

$35$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $70 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$
							+	$70 x$	-	$35$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $70 x - 35$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$
							-	$70 x$	+	$35$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$
							-	$70 x$	+	$35$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 12 x + 35$

Этап 2.1.1.6

Запишем $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{2} + 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим $x^{2} + 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $12$ .

$5, 7$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.5

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 5, - 7$

Этап 3