Алгебра Примеры

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$

Этап 1

Приравняем $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ к $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

Этап 2.1.3

Подставим $- 4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 4$ в многочлен.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$- 64 - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Этап 2.1.3.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- 64 - 2 \cdot 16 + 10 \cdot - 4 + 136$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 2$ на $16$ .

$- 64 - 32 + 10 \cdot - 4 + 136$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $32$ из $- 64$ .

$- 96 + 10 \cdot - 4 + 136$

Этап 2.1.3.6

Умножим $10$ на $- 4$ .

$- 96 - 40 + 136$

Этап 2.1.3.7

Вычтем $40$ из $- 96$ .

$- 136 + 136$

Этап 2.1.3.8

Добавим $- 136$ и $136$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 4$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136}{x + 4}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ на $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$10 x$

$136$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 24 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $34 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							+	$34 x$	+	$136$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $34 x + 136$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 34$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ в виде набора множителей.

$(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 6 x + 34$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 6 x + 34$ к $0$ .

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 6 x + 34 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 34$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $136$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 100$ в виде $- 1 (100)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (100)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $10$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 5 i$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$ верно.

$x = - 4, 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Этап 3