Алгебра Примеры

$f (x) = 3 (x - 1) {(x + 5)}^{2}$

Этап 1

Определим степень функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 3 \cdot - 1) {(x + 5)}^{2}$

Этап 1.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(3 x - 3) {(x + 5)}^{2}$

Этап 1.1.1.2.2

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$(3 x - 3) ((x + 5) (x + 5))$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 3) (x (x + 5) + 5 (x + 5))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)$

Этап 1.1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$

Этап 1.1.4

Развернем $(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x \cdot x^{2} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2 + 1} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$3 x^{3} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 (x \cdot x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.4

Умножим $3$ на $10$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.5

Умножим $25$ на $3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.6

Умножим $10$ на $- 3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 3 \cdot 25$

Этап 1.1.5.1.7

Умножим $- 3$ на $25$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Этап 1.1.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $30 x^{2}$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 75 x - 30 x - 75$

Этап 1.1.5.2.2

Вычтем $30 x$ из $75 x$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 45 x - 75$

Этап 1.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$3$

Этап 2

Поскольку степень нечетная, края функции будут указывать противоположные направления.

Нечетные

Этап 3

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 3 \cdot - 1) {(x + 5)}^{2}$

Этап 3.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(3 x - 3) {(x + 5)}^{2}$

Этап 3.1.1.2.2

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$(3 x - 3) ((x + 5) (x + 5))$

Этап 3.1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 3) (x (x + 5) + 5 (x + 5))$

Этап 3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))$

Этап 3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Этап 3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Этап 3.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)$

Этап 3.1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$

Этап 3.1.4

Развернем $(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x \cdot x^{2} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2 + 1} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$3 x^{3} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 (x \cdot x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.4

Умножим $3$ на $10$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.5

Умножим $25$ на $3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.6

Умножим $10$ на $- 3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 3 \cdot 25$

Этап 3.1.5.1.7

Умножим $- 3$ на $25$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Этап 3.1.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $30 x^{2}$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 75 x - 30 x - 75$

Этап 3.1.5.2.2

Вычтем $30 x$ из $75 x$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 45 x - 75$

Этап 3.2

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$3 x^{3}$

Этап 3.3

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$3$

Этап 4

Поскольку старший коэффициент положителен, график возрастает вправо.

Положительные

Этап 5

Используем степень и знак старшего коэффициента для определения поведения функции.

1. Четный и положительный: поднимается влево и поднимается вправо.

2. Четный и отрицательный: опускается влево и опускается вправо.

3. Нечетный и положительный: опускается влево и поднимается вправо.

4. Нечетный и отрицательный: поднимается влево и опускается вправо

Этап 6

Определим поведение.

Убывает влево и возрастает вправо

Этап 7