Алгебра Примеры

$y = \log_{4} (x) + 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{4} (y) + 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{4} (y) + 1 = x$ .

$\log_{4} (y) + 1 = x$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\log_{4} (y) = x - 1$

Этап 2.3

Перепишем $\log_{4} (y) = x - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

Этап 2.4

Перепишем уравнение в виде $y = 4^{x - 1}$ .

$y = 4^{x - 1}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ обратной к $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $\log_{4} (x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

Этап 4.2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (4^{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x - 1$ из степени.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

Этап 4.3.3.2

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Этап 4.3.3.3

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$