Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{20 - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{20 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{20 - 4}$

Этап 4.3.3.4

Вычтем $4$ из $20$ .

$\sqrt{16}$

Этап 4.3.3.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Этап 4.3.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 4)$

Этап 5.3

Упростим.

$(0, 4)$

Этап 5.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (4))$

Этап 5.6

Упростим.

$(0, - 4)$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Этап 6