Алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} - x + 8 y + 16 = 0$

Этап 1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ вместо $x^{2} - x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 8 y = - 16$

Этап 4

Перенесем $- \frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = - 16 + \frac{1}{4}$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $64$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Этап 6

Подставим ${(y + 4)}^{2} - 16$ вместо $y^{2} + 8 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - 16 + \frac{1}{4}$

Этап 7

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 16 + \frac{1}{4} + 16$

Этап 8

Упростим $- 16 + \frac{1}{4} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Запишем $- 16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16}{1} + \frac{1}{4} + 16$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 16$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 16$

Этап 8.1.4

Запишем $16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16}{1}$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.1.6

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4 + 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 16$ на $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 64 + 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 8.3.2

Умножим $16$ на $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 64 + 1 + 64}{4}$

Этап 8.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $- 64$ и $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 63 + 64}{4}$

Этап 8.4.2

Добавим $- 63$ и $64$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{1}{4}$