Алгебра Примеры

$64 x^{2} + 4 y^{2} = 256$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $256$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{64 x^{2}}{256} + \frac{4 y^{2}}{256} = \frac{256}{256}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 8$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{64 - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{64 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{64 - 4}$

Этап 4.3.4

Вычтем $4$ из $64$ .

$\sqrt{60}$

Этап 4.3.5

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$\sqrt{4 (15)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Этап 4.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{15}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 2 \sqrt{15})$

Этап 5.3

Упростим.

$(0, 2 \sqrt{15})$

Этап 5.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (2 \sqrt{15}))$

Этап 5.6

Упростим.

$(0, - 2 \sqrt{15})$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{15})$

Этап 6