Алгебра Примеры

$y = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt{3 y - 2}}{2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3 y - 2} = x \cdot 2$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\sqrt{3 y - 2} = 2 x$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 y - 2}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 y - 2}$ в виде ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 y - 2)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Упростим.

$3 y - 2 = {(2 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$3 y - 2 = 2^{2} x^{2}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 y - 2 = 4 x^{2}$

Этап 2.4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 4 x^{2} + 2$

Этап 2.4.3.2

Разделим каждый член $3 y = 4 x^{2} + 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Разделим каждый член $3 y = 4 x^{2} + 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 2.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 2.4.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2} + 2}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{\sqrt{3 x - 2}}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем ${\sqrt{3 x - 2}}^{2}$ в виде $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 2}$ в виде ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $3 x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2} + 2}{3}) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2}{3}) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (1)}{3}) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} + 1) - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 - 2}}{2}$

Этап 4.3.3.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 0}}{2}$

Этап 4.3.3.8

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Этап 4.3.3.9

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Этап 4.3.3.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$