Алгебра Примеры

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ в виде $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ .

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Этап 1.2

Развернем $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.3.2

Добавим $\frac{x}{3}$ и $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.4

Объединим $2$ и $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Этап 1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Этап 2.2.2

Разделим $3$ на $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 5

Найдем значение $f (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.7

Умножим $2 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 5.2.1.7.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Этап 5.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Этап 5.2.2.2.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 7