Алгебра Примеры

$\frac{1}{x + 1} > \frac{2}{x - 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{x - 1}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{2}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{2}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} > 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 1 - 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.4

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{- x - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.7

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 3$

$x = - 1$

$x = 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = - 3, - 1, 1$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 9.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(- 6) + 1} > \frac{2}{(- 6) - 1}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 0.2$ больше правой части $- 0.\overline{285714}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(- 2) + 1} > \frac{2}{(- 2) - 1}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $- 0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(0) + 1} > \frac{2}{(0) - 1}$

Этап 11.3.3

Левая часть $1$ больше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(4) + 1} > \frac{2}{(4) - 1}$

Этап 11.4.3

Левая часть $0.2$ не больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $- 1 < x < 1$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1)$

Этап 14