Алгебра Примеры

$5 = x + \sqrt{x + 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x + \sqrt{x + 1} = 5$ .

$x + \sqrt{x + 1} = 5$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x + 1} = 5 - x$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = {(5 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$x + 1 = {(5 - x)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(5 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(5 - x)}^{2}$ в виде $(5 - x) (5 - x)$ .

$x + 1 = (5 - x) (5 - x)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(5 - x) (5 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 5 (5 - x) - x (5 - x)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x (5 - x)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$x + 1 = 25 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - x \cdot 5 - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 4.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + 1 x^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + x^{2}$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$x + 1 = 25 - 10 x + x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$25 - 10 x + x^{2} = x + 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$25 - 10 x + x^{2} - x = 1$

Этап 5.2.2

Вычтем $x$ из $- 10 x$ .

$25 + x^{2} - 11 x = 1$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$25 + x^{2} - 11 x - 1 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} - 11 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 11$ .

$- 8, - 3$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x - 3) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 5.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 8, 3$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $5 = x + \sqrt{x + 1}$ истинным.

$x = 3$

Этап 7