Алгебра Примеры

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 x^{4}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x)$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.2.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 1.3.3

Перепишем многочлен.

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 1.4.1.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Этап 1.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Этап 1.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

Этап 1.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $x - 2$ из $x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x^{3} {(x - 2)}^{2}$ .

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(2 x - 1) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1) = 0$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1)$ .

$(x - 2) (x^{3} (x - 2) + 2 x - 1) = 0$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Этап 1.7

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Этап 1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 2) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Этап 1.7.2

Добавим $3$ и $1$ .

$(x - 2) (x^{4} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Этап 1.8

Перенесем $- 2$ влево от $x^{3}$ .

$(x - 2) (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) = 0$

Этап 1.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перепишем $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Разложим $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 1.9.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 1.9.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2 + 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 - 2 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.7

Вычтем $2$ из $3$ .

$1 - 1$

Этап 1.9.1.1.3.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 1.9.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}{x + 1}$

Этап 1.9.1.1.5

Разделим $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 1.9.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 1.9.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.9.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.9.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Этап 1.9.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.9.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.9.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.9.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.9.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.9.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Этап 1.9.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Этап 1.9.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.9.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.9.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

Этап 1.9.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

Этап 1.9.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

Этап 1.9.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

Этап 1.9.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

Этап 1.9.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

Этап 1.9.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 1.9.1.1.6

Запишем $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ в виде набора множителей.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Этап 1.9.1.2

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.2.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 1.9.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 1.9.1.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.7

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 - 1$

Этап 1.9.1.2.3.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 1.9.1.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Этап 1.9.1.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.2.5.1

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 1.9.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Этап 1.9.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.9.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.9.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 1.9.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.9.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.9.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.9.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.9.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Этап 1.9.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 1.9.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 1.9.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 1.9.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 1.9.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 1.9.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x + 1$

Этап 1.9.1.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ в виде набора множителей.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Этап 1.9.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Этап 1.9.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.9.1.3.3

Перепишем многочлен.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Этап 1.9.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Этап 1.9.1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.4.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Этап 1.9.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Этап 1.9.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Этап 1.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.2

Решим ${(x - 1)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$ верно.

$x = 2, - 1, 1$

Этап 7