Алгебра Примеры

$x + 1 < \frac{5 x - 3}{x - 3}$

Этап 1

Вычтем $\frac{5 x - 3}{x - 3}$ из обеих частей неравенства.

$x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3} < 0$

Этап 2

Упростим $x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x (x - 3)}{x - 3} - \frac{5 x - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 3) - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - (5 x) - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.3.7

Вычтем $5 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Этап 2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3} < 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 + x - 3}{x - 3} < 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $- 8 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 - 3}{x - 3} < 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 0}{x - 3} < 0$

Этап 2.6.3

Добавим $x^{2} - 7 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 7 x}{x - 3} < 0$

Этап 2.6.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 7 x}{x - 3} < 0$

Этап 2.6.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 7}{x - 3} < 0$

Этап 2.6.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 7$ .

$\frac{x (x - 7)}{x - 3} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 7$

$x = 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 0, 7, 3$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 7$

$x > 7$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) + 1 < \frac{5 (- 2) - 3}{(- 2) - 3}$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $2.6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) + 1 < \frac{5 (2) - 3}{(2) - 3}$

Этап 10.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $- 7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$(5) + 1 < \frac{5 (5) - 3}{(5) - 3}$

Этап 10.3.3

Левая часть $6$ меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$(10) + 1 < \frac{5 (10) - 3}{(10) - 3}$

Этап 10.4.3

Левая часть $11$ не меньше правой части $6.\overline{714285}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $3 < x < 7$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 0) \cup (3, 7)$

Этап 13