Алгебра Примеры

$\frac{x}{4} \leq \frac{9}{x}$

Этап 1

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{x}{4} \cdot 4 \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{4} \cdot 4 \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{9}{x} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $\frac{9}{x}$ и $4$ .

$x \leq \frac{9 \cdot 4}{x}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $9$ на $4$ .

$x \leq \frac{36}{x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части на $x$ .

$x \cdot x = \frac{36}{x} x$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = \frac{36}{x} x$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{36}{x} x$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 36$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Этап 3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 6$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6$

Этап 3.3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6$

Этап 3.3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6, - 6$

Этап 4

Найдем область определения $\frac{x}{4} - \frac{9}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{9}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 8}{4} \leq \frac{9}{- 8}$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $- 1.125$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 3}{4} \leq \frac{9}{- 3}$

Этап 6.2.3

Левая часть $- 0.75$ больше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{4} \leq \frac{9}{3}$

Этап 6.3.3

Левая часть $0.75$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{4} \leq \frac{9}{8}$

Этап 6.4.3

Левая часть $2$ больше правой части $1.125$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 6$ или $0 < x \leq 6$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6] \cup (0, 6]$

Этап 9