Алгебра Примеры

$\frac{1}{- x} \leq \frac{5}{7 - x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{5}{7 - x}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Этап 2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{5}{7 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (7 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{5}{7 - x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{(7 - x) x} \leq 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(7 - x) x$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (7 - x) - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{- 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.6.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 7 + 1 x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.6.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- 7 + x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.6.4

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$\frac{- 7 - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.7

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$\frac{- 1 (7) - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{- 1 (7) - (4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - (4 x)$ .

$\frac{- 1 (7 + 4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$7 + 4 x = 0$

$7 - x = 0$

Этап 4

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 7$

Этап 5

Разделим каждый член $4 x = - 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 x = - 7$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{4}$

Этап 6

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 7$

Этап 7

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$x = 7$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - \frac{7}{4}$

$x = 7$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - \frac{7}{4}, 7$

Этап 10

Найдем область определения $- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (7 - x) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$7 - x = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10.2.3

Приравняем $7 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $7 - x$ к $0$ .

$7 - x = 0$

Этап 10.2.3.2

Решим $7 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 7$

Этап 10.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 10.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 10.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 10.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$x = 7$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (7 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 7$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{7}{4}$

$- \frac{7}{4} < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- (- 4)} \leq \frac{5}{7 - (- 4)}$

Этап 12.1.3

Левая часть $0.25$ меньше правой части $0.\overline{45}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- \frac{7}{4} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{7}{4} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- (- 1)} \leq \frac{5}{7 - (- 1)}$

Этап 12.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0.625$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- (4)} \leq \frac{5}{7 - (4)}$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- (10)} \leq \frac{5}{7 - (10)}$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 0.1$ больше правой части $- 1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{7}{4}$ Истина

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - \frac{7}{4}$ Истина

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{7}{4}$ или $0 < x < 7$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup (0, 7)$

Этап 15