Алгебра Примеры

$x^{4} - 4 x^{3} = 6 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} = - 12 x$

Этап 1.2

Добавим $12 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + 12 x = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x)$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.2.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Этап 2.2.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Этап 2.2.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 + 12$

Этап 2.2.1.3.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- 8 - 16 - 6 \cdot - 2 + 12$

Этап 2.2.1.3.5

Вычтем $16$ из $- 8$ .

$- 24 - 6 \cdot - 2 + 12$

Этап 2.2.1.3.6

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$- 24 + 12 + 12$

Этап 2.2.1.3.7

Добавим $- 24$ и $12$ .

$- 12 + 12$

Этап 2.2.1.3.8

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 2.2.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12}{x + 2}$

Этап 2.2.1.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$12$

Этап 2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

Этап 2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Этап 2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Этап 2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Этап 2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

Этап 2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 6$

Этап 2.2.1.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ в виде набора множителей.

$x ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Приравняем $x^{2} - 6 x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} - 6 x + 6$ к $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 0, - 2, 4.73205080 \dots, 1.26794919 \dots$

Этап 9