Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$

Этап 1

Приравняем $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ к $0$ .

$3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3 x^{4}$ из $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3 x^{4}$ из $3 x^{6}$ .

$3 x^{4} (x^{2}) + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $3 x^{4}$ из $30 x^{5}$ .

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 75 x^{4} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $3 x^{4}$ из $75 x^{4}$ .

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $3 x^{4}$ из $3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x)$ .

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $3 x^{4}$ из $3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25)$ .

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.1.2.3

Перепишем многочлен.

$3 x^{4} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{4}$ к $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 0$ (кратно $4$ )

$x = - 5$ (кратно $2$ )

$x = 0$ (кратно $4$ )

$x = - 5$ (кратно $2$ )

Этап 3