Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{2 x + 3}{5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x + 3}{5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x + 3}{5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y + 3}{5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 y + 3}{5} = x$ .

$\frac{2 y + 3}{5} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $5$ .

$\frac{2 y + 3}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y + 3}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y + 3 = x \cdot 5$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$2 y + 3 = 5 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 y = 5 x - 3$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 y = 5 x - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 y = 5 x - 3$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x + 3}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x + 3}{5})}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x + 3}{5}) - 3}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x + 3}{5}) - 3}{2}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{2 x + 3 - 3}{2}$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $2 x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 3}{5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) + 3}{5}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3}{5}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3}{5}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (- \frac{3}{2}) + 3}{5}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3}{5}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3}{5}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x - 3 + 3}{5}$

Этап 5.3.3.4

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x + 3}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}$