Алгебра Примеры

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 2

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 6

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 5$

$x = 3, - 3$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 5, 3, - 3$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 10.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 10.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 10.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 10.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 10.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((- 6) - 5)}^{2}}{{(- 6)}^{2} - 9} \geq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $4.\overline{481}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((0) - 5)}^{2}}{{(0)}^{2} - 9} \geq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 2.\overline{7}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((4) - 5)}^{2}}{{(4)}^{2} - 9} \geq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $0.\overline{142857}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((8) - 5)}^{2}}{{(8)}^{2} - 9} \geq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.1\overline{63}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $3 < x \leq 5$ или $x \geq 5$

Этап 14

Объединим интервалы.

$x < - 3 or x > 3$

Этап 15

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

Этап 16