Алгебра Примеры

$f (x) = 4 {(x + 2)}^{2} - 6$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$f (x) = 4 ((x + 2) (x + 2)) - 6$

Этап 1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 6$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 6$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 6$

Этап 1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 4 x + 4) - 6$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4 - 6$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4 - 6$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 16 - 6$

Этап 2

Вычтем $6$ из $16$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 10$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{16}{2 (4)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{16}{2 (4)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{16}{2 (4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{8}{4}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{2}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x = - 1 \cdot 2$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = - 2$

Этап 5

Найдем значение $f (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} + 16 (- 2) + 10$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 + 16 (- 2) + 10$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- 2) = 16 + 16 (- 2) + 10$

Этап 5.2.1.3

Умножим $16$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 32 + 10$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$f (- 2) = - 16 + 10$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 16$ и $10$ .

$f (- 2) = - 6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- 2, - 6)$

Этап 7