Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$ в виде уравнения.

$y = 3 x - \frac{1}{4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 y - \frac{1}{4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 y - \frac{1}{4} = x$ .

$3 y - \frac{1}{4} = x$

Этап 3.2

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$3 y = x + \frac{1}{4}$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 y = x + \frac{1}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 y = x + \frac{1}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$ обратной к $f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{3 x - \frac{1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Чтобы записать $3 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{3 x \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3.1.2

Объединим $3 x$ и $\frac{4}{4}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{\frac{3 x \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{\frac{3 x \cdot 4 - 1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{\frac{12 x - 1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $\frac{12 x - 1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $\frac{12 x - 1}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1}{12} + \frac{1}{12}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1 + 1}{12}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $12 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x + 0}{12}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x}{12}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x}{12}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 3 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 3 (\frac{1}{3 (4)}) - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 4}) - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + \frac{1 - 1}{4}$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + \frac{0}{4}$

Этап 5.3.4.3

Разделим $0$ на $4$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 0$

Этап 5.3.4.4

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$ — обратная к $f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$