Алгебра Примеры

$2 - x \leq \frac{5 x + 6}{x + 3}$

Этап 1

Вычтем $\frac{5 x + 6}{x + 3}$ из обеих частей неравенства.

$2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Этап 2

Упростим $2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x + \frac{2 (x + 3)}{x + 3} - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x + \frac{2 (x + 3) - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + \frac{2 x + 2 \cdot 3 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x) - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 6}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.6

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$- x + \frac{- 3 x + 6 - 6}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.7

Вычтем $6$ из $6$ .

$- x + \frac{- 3 x + 0}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.1.8

Добавим $- 3 x$ и $0$ .

$- x + \frac{- 3 x}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.4

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5

Объединим $- x$ и $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{- x (x + 3)}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x (x + 3) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x$ из $- x (x + 3) - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x (x + 3)$ .

$\frac{x (- (x + 3)) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{x (- (x + 3)) + x \cdot - 3}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- (x + 3)) + x \cdot - 3$ .

$\frac{x (- (x + 3) - 3)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 3) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{x (- (x + 3) - 1 (3))}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 3) - 1 (3)$ .

$\frac{x (- (x + 3 + 3))}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{x \cdot - 1 (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.7.4

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- x = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 5

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 6$

$x = - 3$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, - 6, - 3$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x (x + 6)}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x + 6)}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$2 - (- 8) \leq \frac{5 (- 8) + 6}{(- 8) + 3}$

Этап 11.1.3

Левая часть $10$ больше правой части $6.8$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 - (- 4) \leq \frac{5 (- 4) + 6}{(- 4) + 3}$

Этап 11.2.3

Левая часть $6$ меньше правой части $14$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$2 - (- 2) \leq \frac{5 (- 2) + 6}{(- 2) + 3}$

Этап 11.3.3

Левая часть $4$ больше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 - (2) \leq \frac{5 (2) + 6}{(2) + 3}$

Этап 11.4.3

Левая часть $0$ меньше правой части $3.2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 \leq x < - 3$ или $x \geq 0$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 6, - 3) \cup [0, \infty)$

Этап 14