Алгебра Примеры

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x - 5}{x - 3}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x - 1}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{x - 5}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x - 1}{x + 2}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x - 5}{x - 3}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x - 1) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.5

Развернем $(- x + 5) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.6.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.6.1.3

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.6.2

Добавим $- 2 x$ и $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.7

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.8

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.9

Добавим $- 4 x$ и $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.10

Добавим $3$ и $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.7

Перепишем $13$ в виде $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x - 13)$ в виде $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$x = 13$

Этап 5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 13, - 2, 3$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 9.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 9.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 2, 3$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Этап 11.1.3

Левая часть $2.5$ больше правой части $1.\overline{285714}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 0.5$ не больше правой части $1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 13$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 13$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.7$ больше правой части $0.6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 13$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 13$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 16$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $16$ в исходном неравенстве.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Этап 11.4.3

Левая часть $0.8\overline{3}$ не больше правой части $0.\overline{846153}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 13$ Истина

$x > 13$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 13$ Истина

$x > 13$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $3 < x < 13$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Этап 14