Алгебра Примеры

$x \geq \frac{8}{2 + x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{8}{2 + x}$ из обеих частей неравенства.

$x - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2

Упростим $x - \frac{8}{2 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{x (2 + x)}{2 + x} - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (2 + x) - 8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x^{2} - 8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{2 + x} \geq 0$

Этап 2.3.5

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$2 + x = 0$

Этап 4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2$

$x = - 4$

$x = - 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 2, - 4, - 2$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 + x = 0$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$- 6 \geq \frac{8}{2 - 6}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 6$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$- 3 \geq \frac{8}{2 - 3}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 3$ больше правой части $- 8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$0 \geq \frac{8}{2 + 0}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 \geq \frac{8}{2 + 4}$

Этап 11.4.3

Левая часть $4$ больше правой части $1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x < - 2$ или $x \geq 2$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 4, - 2) \cup [2, \infty)$

Этап 14