Алгебра Примеры

$f (x) = \ln (3 x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \ln (3 x)$ в виде уравнения.

$y = \ln (3 x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (3 y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (3 y) = x$ .

$\ln (3 y) = x$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (3 y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $3 y = e^{x}$ .

$3 y = e^{x}$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $3 y = e^{x}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $3 y = e^{x}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ обратной к $f (x) = \ln (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (3 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Этап 5.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{e^{x}}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \ln (e)$

Этап 5.3.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \cdot 1$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ — обратная к $f (x) = \ln (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$