Алгебра Примеры

$\sqrt{12 x - 23} = \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{12 x - 23}}^{2} = {(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{12 x - 23}$ в виде ${(12 x - 23)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(12 x - 23)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(12 x - 23)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(12 x - 23)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 x - 23)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(12 x - 23)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(12 x - 23)}^{1} = {(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$12 x - 23 = {(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})}^{2}$ в виде $(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x}) (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})$ .

$12 x - 23 = (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x}) (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x}) (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x - 23 = \sqrt{3 x - 11} (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x}) + \sqrt{3 x} (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x - 23 = \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} (\sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x - 23 = \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x - 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{3 x - 11}$ в степень $1$ .

$12 x - 23 = {\sqrt{3 x - 11}}^{1} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{3 x - 11}$ в степень $1$ .

$12 x - 23 = {\sqrt{3 x - 11}}^{1} {\sqrt{3 x - 11}}^{1} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x - 23 = {\sqrt{3 x - 11}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$12 x - 23 = {\sqrt{3 x - 11}}^{2} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{3 x - 11}}^{2}$ в виде $3 x - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 11}$ в виде ${(3 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x - 23 = {({(3 x - 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 23 = {(3 x - 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$12 x - 23 = {(3 x - 11)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$12 x - 23 = {(3 x - 11)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$12 x - 23 = {(3 x - 11)}^{1} + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{3 x - 11} \sqrt{3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x - 11} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + \sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $\sqrt{3 x} \sqrt{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

Возведем $\sqrt{3 x}$ в степень $1$ .

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {\sqrt{3 x}}^{1} \sqrt{3 x}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Возведем $\sqrt{3 x}$ в степень $1$ .

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {\sqrt{3 x}}^{1} {\sqrt{3 x}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {\sqrt{3 x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {\sqrt{3 x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.6

Перепишем ${\sqrt{3 x}}^{2}$ в виде $3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {(3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {(3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + {(3 x)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.6.5

Упростим.

$12 x - 23 = 3 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + 3 x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$12 x - 23 = 6 x - 11 + \sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x} + \sqrt{3 x (3 x - 11)}$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{(3 x - 11) \cdot 3 x}$ и $\sqrt{3 x (3 x - 11)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Перенесем $3 x - 11$ .

$12 x - 23 = 6 x - 11 + \sqrt{3 x (3 x - 11)} + \sqrt{3 x (3 x - 11)}$

Этап 2.3.1.3.3.2

Добавим $\sqrt{3 x (3 x - 11)}$ и $\sqrt{3 x (3 x - 11)}$ .

$12 x - 23 = 6 x - 11 + 2 \sqrt{3 x (3 x - 11)}$

Этап 3

Решим относительно $2 \sqrt{3 x (3 x - 11)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 x - 11 + 2 \sqrt{3 x (3 x - 11)} = 12 x - 23$ .

$6 x - 11 + 2 \sqrt{3 x (3 x - 11)} = 12 x - 23$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{3 x (3 x - 11)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$- 11 + 2 \sqrt{3 x (3 x - 11)} = 12 x - 23 - 6 x$

Этап 3.2.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{3 x (3 x - 11)} = 12 x - 23 - 6 x + 11$

Этап 3.2.3

Вычтем $6 x$ из $12 x$ .

$2 \sqrt{3 x (3 x - 11)} = 6 x - 23 + 11$

Этап 3.2.4

Добавим $- 23$ и $11$ .

$2 \sqrt{3 x (3 x - 11)} = 6 x - 12$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{3 x (3 x - 11)})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x (3 x - 11)}$ в виде ${(3 x (3 x - 11))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 x (3 x - 11))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(3 x (3 x - 11))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 {(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(2 {(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Умножим $- 11$ на $3$ .

${(2 {(3 \cdot 3 x \cdot x - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Перенесем $x$ .

${(2 {(3 \cdot 3 (x \cdot x) - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

${(2 {(3 \cdot 3 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

${(2 {(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило умножения к $2 {(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${({(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(9 x^{2} - 33 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(9 x^{2} - 33 x)}^{1} = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 (9 x^{2} - 33 x) = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (9 x^{2}) + 4 (- 33 x) = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Умножим $9$ на $4$ .

$36 x^{2} + 4 (- 33 x) = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $- 33$ на $4$ .

$36 x^{2} - 132 x = {(6 x - 12)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(6 x - 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(6 x - 12)}^{2}$ в виде $(6 x - 12) (6 x - 12)$ .

$36 x^{2} - 132 x = (6 x - 12) (6 x - 12)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(6 x - 12) (6 x - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x^{2} - 132 x = 6 x (6 x - 12) - 12 (6 x - 12)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x^{2} - 132 x = 6 x (6 x) + 6 x \cdot - 12 - 12 (6 x - 12)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x^{2} - 132 x = 6 x (6 x) + 6 x \cdot - 12 - 12 (6 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x^{2} - 132 x = 6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 12 - 12 (6 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$36 x^{2} - 132 x = 6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 12 - 12 (6 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x^{2} - 132 x = 6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 12 - 12 (6 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$36 x^{2} - 132 x = 36 x^{2} + 6 x \cdot - 12 - 12 (6 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 12$ на $6$ .

$36 x^{2} - 132 x = 36 x^{2} - 72 x - 12 (6 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $6$ на $- 12$ .

$36 x^{2} - 132 x = 36 x^{2} - 72 x - 72 x - 12 \cdot - 12$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$36 x^{2} - 132 x = 36 x^{2} - 72 x - 72 x + 144$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $72 x$ из $- 72 x$ .

$36 x^{2} - 132 x = 36 x^{2} - 144 x + 144$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вычтем $36 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{2} - 132 x - 36 x^{2} = - 144 x + 144$

Этап 6.1.2

Добавим $144 x$ к обеим частям уравнения.

$36 x^{2} - 132 x - 36 x^{2} + 144 x = 144$

Этап 6.1.3

Объединим противоположные члены в $36 x^{2} - 132 x - 36 x^{2} + 144 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вычтем $36 x^{2}$ из $36 x^{2}$ .

$- 132 x + 0 + 144 x = 144$

Этап 6.1.3.2

Добавим $- 132 x$ и $0$ .

$- 132 x + 144 x = 144$

Этап 6.1.4

Добавим $- 132 x$ и $144 x$ .

$12 x = 144$

Этап 6.2

Разделим каждый член $12 x = 144$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $12 x = 144$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{144}{12}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{144}{12}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{144}{12}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $144$ на $12$ .

$x = 12$

Этап 7