Алгебра Примеры

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ в виде уравнения.

$y = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(2 y + 1)}^{3} - 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$ .

${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

${(2 y + 1)}^{3} = x + 4$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{x + 4}$

Этап 3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ обратной к $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{({(2 x + 1)}^{3} - 4) + 4} - 1}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4}$ в виде ${({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Объединим противоположные члены в ${(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Этап 5.2.3.2.2

Добавим ${(2 x + 1)}^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Этап 5.2.3.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Этап 5.2.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{(2 x + 1) - 1}{2}$

Этап 5.2.3.4

Упростим.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1)}^{3} - 4$

Этап 5.3.3.2

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} + 0)}^{3} - 4$

Этап 5.3.3.2.2

Добавим $\sqrt[3]{x + 4}$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {\sqrt[3]{x + 4}}^{3} - 4$

Этап 5.3.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ в виде $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 4$

Этап 5.3.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 4$

Этап 5.3.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Этап 5.3.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Этап 5.3.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = (x + 4) - 4$

Этап 5.3.3.3.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 4 - 4$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ — обратная к $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$