Алгебра Примеры

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 24 x^{2} + 13 x + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $2 x^{4} - 3 x^{3} - 24 x^{2} + 13 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Этап 1.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{4} - 3 {(- 0.5)}^{3} - 24 {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $4$ .

$2 \cdot 0.0625 - 3 {(- 0.5)}^{3} - 24 {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $0.0625$ .

$0.125 - 3 {(- 0.5)}^{3} - 24 {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$0.125 - 3 \cdot - 0.125 - 24 {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 3$ на $- 0.125$ .

$0.125 + 0.375 - 24 {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.6

Добавим $0.125$ и $0.375$ .

$0.5 - 24 {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.7

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$0.5 - 24 \cdot 0.25 + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.8

Умножим $- 24$ на $0.25$ .

$0.5 - 6 + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.9

Вычтем $6$ из $0.5$ .

$- 5.5 + 13 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.10

Умножим $13$ на $- 0.5$ .

$- 5.5 - 6.5 + 12$

Этап 1.1.3.11

Вычтем $6.5$ из $- 5.5$ .

$- 12 + 12$

Этап 1.1.3.12

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{3} - 24 x^{2} + 13 x + 12}{2 x + 1}$

Этап 1.1.5

Разделим $2 x^{4} - 3 x^{3} - 24 x^{2} + 13 x + 12$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$13 x$	+	$12$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 22 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 22 x^{2} - 11 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$24 x$

Этап 1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$24 x$

$12$

Этап 1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$24 x$

$12$

Этап 1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Этап 1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x + 12$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Этап 1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$12$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$22 x^{2}$

$13 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

Этап 1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12$

Этап 1.1.6

Запишем $2 x^{4} - 3 x^{3} - 24 x^{2} + 13 x + 12$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12) = 0$

Этап 1.2

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 1.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 12$

Этап 1.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 2 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 12$

Этап 1.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 2 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 12$

Этап 1.2.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 - 11 \cdot 1 + 12$

Этап 1.2.3.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 12$

Этап 1.2.3.6

Умножим $- 11$ на $1$ .

$- 1 - 11 + 12$

Этап 1.2.3.7

Вычтем $11$ из $- 1$ .

$- 12 + 12$

Этап 1.2.3.8

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 1.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}{x - 1}$

Этап 1.2.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$11 x$

$12$

Этап 1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$

Этап 1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$

Этап 1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$

Этап 1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$

Этап 1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Этап 1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$
										$0$

Этап 1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 12$

Этап 1.2.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - x - 12)) = 0$

Этап 1.3

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 1.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x + 1) ((x - 1) ((x - 4) (x + 3))) = 0$

Этап 1.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 1, 4, - 3$