Алгебра Примеры

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

Этап 1.2

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.2

Объединим $- x$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.4

Добавим $7 x$ и $2 x$ .

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.6.1.2

Запишем $9$ как $- 1$ плюс $10$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.4.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Этап 2.5

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Развернем $(- x - 1) (x - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.2.1.2

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.2.2

Вычтем $x$ из $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.4

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.5

Добавим $9 x$ и $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.6

Вычтем $10$ из $10$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.7

Добавим $- x^{2} + 14 x$ и $0$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.8

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.8.2

Вынесем множитель $x$ из $14 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.7.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 14$ .

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.9

Перепишем $14$ в виде $- 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.11

Перепишем $- (x - 14)$ в виде $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Этап 2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 5

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$x = 14$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, 14, 2$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

Этап 11.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $- 7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 17$ меньше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 14$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 14$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

Этап 11.3.3

Левая часть $19$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 14$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 14$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 16$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $16$ в исходном неравенстве.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

Этап 11.4.3

Левая часть $8.\overline{714285}$ меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 14$ Ложь

$x > 14$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 14$ Ложь

$x > 14$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x < 2$ или $x \geq 14$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

Этап 14