Алгебра Примеры

${(t + \frac{1}{t})}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(t)}^{4 - k} \cdot {(\frac{1}{t})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(t)}^{4 - 0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(t)}^{4 - 1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(t)}^{4 - 2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(t)}^{4 - 3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(t)}^{4 - 4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(t)}^{4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(t)}^{4}$ на $1$ .

${(t)}^{4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} \cdot \frac{1^{0}}{t^{0}} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$t^{4} \cdot \frac{1}{t^{0}} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$t^{4} \cdot \frac{1}{1} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.5

Разделим $1$ на $1$ .

$t^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.6

Умножим $t^{4}$ на $1$ .

$t^{4} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.7

Упростим.

$t^{4} + 4 t^{3} \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $t$ из $4 t^{3}$ .

$t^{4} + t (4 t^{2}) \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.8.2

Сократим общий множитель.

$t^{4} + t (4 t^{2}) \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.8.3

Перепишем это выражение.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 t^{2} \cdot \frac{1^{2}}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.10

Единица в любой степени равна единице.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 t^{2} \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $6 t^{2}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + t^{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.11.2

Сократим общий множитель.

$t^{4} + 4 t^{2} + t^{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.11.3

Перепишем это выражение.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.12

Упростим.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot t \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.13

Применим правило умножения к $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 t \cdot \frac{1^{3}}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.14

Единица в любой степени равна единице.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 t \cdot \frac{1}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.15

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вынесем множитель $t$ из $4 t$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.15.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t \cdot t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.15.3

Сократим общий множитель.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t \cdot t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.15.4

Перепишем это выражение.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.16

Объединим $4$ и $\frac{1}{t^{2}}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.17

Умножим ${(t)}^{0}$ на $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.18

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + 1 \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.19

Умножим ${(\frac{1}{t})}^{4}$ на $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + {(\frac{1}{t})}^{4}$

Этап 4.20

Применим правило умножения к $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + \frac{1^{4}}{t^{4}}$

Этап 4.21

Единица в любой степени равна единице.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t^{4}}$